YUnniTAng,1QUanyingWU,1,* XIaoyiCHØNE2 OGHAoZHENGE1,2
1Jiangsu Key Laboratory of Micro and Nano Heat Fluid Flow Technology and Energy Application, School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou, Jiangsu, 215009, Kina
2Graduate Practice Station i Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, Kina
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Abstrakt: Vi foreslår en numerisk metode for utforming av et progressivt tilleggsobjektiv (PAL) som kan imøtekomme mer personlige behov sammenlignet med å bruke den analytiske løsningen av Laplace -ligningen. I vår metode er hjelpefunksjonenu(x, y) av en PAL oppnås ved den numeriske løsningen av Laplace -ligningen med grense- og koblingsbetingelsene. Grensetilstanden oppnås ved bruk av den genetiske algoritmen med inngangen fra det individuelle kravet. Koblingstilstanden bestemmes ved bruk av den endelige forskjellsmetoden med en jevnereu(x, y) på meridianen. To eksempler er gitt for utendørs og
kontorbruk. I begge tilfeller skyves astigmatismeområdet mot et lite område nær kanten av linsen.
© 2017 Optical Society of America
OCIS -koder:(220.0220) Optisk design og fabrikasjon; (080.0080) Geometrisk optikk.
Referanser og lenker
JT Winthrop, Wellesley og Mass, "Progressive Addition Spectacle Lens," US Patent Number 4861153, 1989.
T. Steele, H. McLoughlin og D. Payne, "Progressive Addition Power," US Patent Number 6776486B2, 2004.
J. Loost, G. Greiner og HP Seidel, "En variasjonsmetode til progressiv linsedesign," Comput. Hjulpet des.
30(8), 595–602 (1998).
J. Wang, "Design of Progressive Lenses-Mathematical Analysis and Numerical Methods," (Eden Prairie: University of Minnesota Doctoral Thesis, 5–54 (2002).
J. Wei, W. Bao, Q. Tang, og H. Wang, "En numerisk variasjonsdiffering numerisk metode for utforming av progressive-addisjonslinser," Comput. Hjulpet des.48(3), 17–27 (2014).
Q. Wu, L. Qian, H. Chen, Y. Wang og J. Yu, "Research on Meridian Lines Design for Progressive Addition Lenses," Acta Opt. Synd.29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang, Q. Wu, X. Chen, H. Zhang og Y. Long, "Optimization of the Meridian Line of Progressive Addition Lenses basert på genetisk algoritme," Acta Opt. Synd.34(9), 09220051–09220057 (2014).
Z. Da,Fundamentals of the Calculus of Variations (Second Edition), (National Defense Industry, 2007), kap. 2.
H. Fan, megThods for Partial Differential Equations (sivilingeniør), (China Machine, 2013), kap. 1.
WH Press, Sa Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery,Numeriske oppskrifter i C: The Art of Scientific Computing(Cambridge University, 1992), Sec. 19.2, 19.5.
1. Innledning
Et progressivt tilleggsobjektiv (PAL) gir sømløs klar syn på forskjellige visningsavstander. Det er to hovedkategorier av metoder for utforming av venner. Man tilhører direkte metode. For eksempel Winthropet al. [1] beskrev et system der designerne spesifiserte brennkraften langs navlestrengen. Både formen på resten av linsen og krumningene på den progressive overflaten bestemmes av hjelpesviktsfunksjonenu(x, y). Konturene av hjelpefunksjon påx-y Fly kalles nivåkurver. De
Hjelpefunksjon ble oppnådd ved analytisk å løse Laplace -ligningen. Steeleet al. [2] spesifiserte fokalkraften over hele overflaten ved bruk av CONIC -er (som en hjelpefunksjon) og oppnådde overflateformen til PAL ved å løse en elliptisk delvis differensialligning. Den andre måten er å bestemme PAL -overflaten indirekte. For eksempel, løstet al. [3], Wang
[4], Wei [5] utviklet en evalueringsfunksjon som prøver å nå en balanse mellom ønsket fordeling av fokalkraft og den uønskede astigmatismen. PAL -overflaten ble oppnådd ved å minimere evalueringsfunksjonen numerisk. I de direkte metodene er designene til den meridiske fokalkraften og nivåkurvene to viktige punkter. Nylig er teknikken for å søke etter den optimaliserte fokalkraftfordelingen på meridianlinje blitt beskrevet [6,7]. Winthropet al. og Steeleet al. presenterte de analytiske uttrykkene for nivåkurvene [1,2]. Alle disse metodene har bare to eller tre parametere for å justere nivåkurvene. Derfor er deres evne til å imøtekomme personlige behov for synskorreksjon begrenset.
Vi foreslår en metode som kan imøtekomme mer personlige behov sammenlignet med metodene nevnt ovenfor. I vår tilnærming oppnås nivåkurvene ved numerisk å løse Laplace -ligningen med grensen og koblingsforholdene som er avhengig av individuell situasjon. Det er et komplekst forhold mellom grensetilstanden til Laplace -ligningen og astigmatismen. Grensetilstanden oppnås ved bruk av den genetiske algoritmen med inngangen fra det personlige kravet. For å minimere astigmatismen på meridianlinjen, foreslår vi en jevnere koblingstilstand ved bruk av variasjonsprinsipp og den endelige forskjellsmetoden. Metoden gir fleksibilitet og effektivitet for bestemmelse av et individualisert objektiv.
2. Design av nivåkurvene for et progressivt tilleggsobjektiv
Overflaten til en PAL er delt inn i fire regioner (fig. 1). Avstandsområdet 1 i den øvre delen av linsen har en relativt lav fokalkraft. Nærarealet 2 er 10-18 mm under avstandsområdet og har en relativt høy fokalkraft. Den progressive korridoren 3 forbinder avstanden og nær områdene. Astigmatismeområdene 4 er til venstre og høyre for den progressive korridoren med relativt alvorlig astigmatisme. Forskjellen i fokalkraft mellom referansepunkt A i avstandsområdet og referansepunktet B i nærområdet blir sett på som tilleggskraft (ADD) til PAL. Avstandsområdet, nær område og progressiv korridor kalles effektive synsregioner. Astigmatismeområdene kan ikke brukes til å rette opp visjonen til en bruker.
Fig. 1. Fire regioner av en PAL.
Opprinnelsen O er midten av linsen ogx-y Flyet er tangent til linsen. X-aksen peker nedover i retning av å øke fokalkraften. Dez-Axis peker ut av papiret mot leseren. Meridianlinjen kobler punkt A og B. Avstanden mellom punkt A og B er lengden på den progressive korridoren.
Den direkte designmetoden er delt inn i flere trinn. Det første trinnet er å designe den meridiske fokalkraften (langs meridianlinjen) og hjelpefunksjonenu(x, y). Den andre
Trinn er å bestemme krumningen og krumningssentrene på hvert punkt på PAL -overflaten. Det siste trinnet er å oppnå vektorhøydenz(x, y) .
Den fokale kraftfordelingen skal være jevn over overflaten av linsen, så hjelpfunksjonenu(x, y) trenger å distribuere jevnt. Et kriterium for glatthet krever at den kvadratiske summen av de delvise derivater ¶u / ¶x og ¶u / ¶y være et minimum, dvs.
Dirichlet Integral er minimum. I følge Euler-Lagrange variasjonsprinsippetu(x, y) tilfredsstiller Laplace -ligningen
Vi foreslår å løse ekv. (1) Bruke numerisk teknikk. Grensetilstanden til Laplace -ligningen er optimalisert ved bruk av den genetiske algoritmen mens koblingstilstanden oppnås ved bruk av den endelige forskjellsmetoden.
2.1 grensetilstanden til Laplace -ligningen
Kontrollpunktetuk representerer et av rutenettet på grensen til beregningsdomenet ω og er definert som
Herh er relatert til lengden på den progressive korridoren,L er avstanden fra punkt A til det opprinnelige punktet O, ogpk er kontrollparameteren til den genetiske algoritmen som varierer fra 0 til 1.K er antallet 'kromosomer' i den genetiske algoritmen. Sekvensen til alle 'kromosomer'h - L .
pk utgjør en vektor som en 'individ'. Verdien avuk varierer fra -L til
Objektivfunksjonenf av den genetiske algoritmen oppfyller vektorenes fordeler [7]
Her er F1 den maksimale astigmatismen til PAL. Maksimal astigmatisme skal oppfylle kravet f* =r P - P , hvorP ogP er fokale krefter på punkt A og B, 1A B A B ogr er vektingsfaktoren til tilleggskraften. Fi ( i = 2, 3l6) er middelverdiene for astigmatismen i avstandsområdet, nær området og progressiv korridor og tohenholdsvis astigmatisme. Fi ( i = 7, 8, 9) er de gjennomsnittlige effektverdiene i avstandsområdet, nært område og progressiv korridor. F* er de tilsvarende objektive verdiene. Fi Endring i sløyfen til genetisk algoritme for å søke i den optimaliserte grensenforhold.a1 ,...,a6 er de tilsvarende områdets vektingsfaktorer for astigmatismen.a7 ,a8 oga9 er de tilsvarende områdes vektingsfaktorer for den fokale kraftforskjellen.r ( 0.75 £ r £ 1) ogai ( 0.1 £ ai £ 2) er relative verdier og bestemt av brukerens preferanser. For utendørsaktiviteter er det nødvendig med et bredt avstandsområde, så vektingsfaktorena2 skal være større enna3. For kontoraktivitetene, et mindre avstandsområde og en størreNær område er ønsket, så vektingsfaktorena3 skal være større enna2. I alle fall ønsker vi astigmatismen så lite som mulig, men innsatsen er begrenset av annen etterspørsel som dimensjonene til klar avstand og nær regioner. Egentlig er det en avveining mellom avstandsområdet, nærområdet og astigmatismen.
2.2 Koblingstilstanden til Laplace -ligningen
I den forrige kunsten [1], hjelpefunksjonenu(x, y) på meridianlinjen mellom punkt A og B er som følger
For å redusere Pals astigmatisme, prøver vi å holde fokalkraften stabil
Utover punkt A og punkt B på meridianlinjen. Funksjonenu(x, 0) bør endres mer
glatt. På punkt A og B,u(x, 0) er likx, bakkene skal være lik null,u(x, 0) skal ha høyere ordenN av de første ikke-forsvinnende differensialderivatene. På meridianlinjen mellom punkt A og B er de absolutte verdiene til de differensielle derivater
Minimum når ordren er mindre ennN eller likN .
Vi minimerer oppsummeringen av derivaterens kvadrat med ordren fra 1 til n
Det analytiske uttrykket avu(x, 0) for minimum ekv. (5) Tilfredsstiller Euler-Poisson-ligningen [8]
Fra ekv. (7) og ekv. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) i ekv. (10) oppnås. Deretter hjelpefunksjonenu(x, 0) på meridianlinje oppnås.
Lengre,ui, j på to sider av meridianlinjen med bredded bestemmes av den endelige forskjellsskjemaet [9]. Vi bruker et firkantet rutenett (xi , y j ) å beregne numeriskui, j .
Gittui, j = u(xi , y j ), brukes den sentrerte endelige forskjellsformelen for det andre derivatet
Her äy er trinnstørrelsen. Antar at den symmetriske aksen tilu(x, y) er likui, j -1. Omorganiserende ekv. (11), skaffer vi meridianlinjen,ui, j +1
(12) Basert på Laplace -ligningen og legg til en optimaliseringsfaktorau , får viu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Da verdiene tilui, j ± n n = 1, 2, 3 ... blir analogisert etter tur. Verdiene tilu(x, y) mellom venstre og høyre grenser for den progressive korridoren oppnås. Bredden på den progressive korridoren og optimaliseringsfaktoreneau endring i henhold til forskjellige personlige behov.
Numerisk løsning av Laplace -ligningenLaplace -ligningen med grense- og koblingsbetingelsene oppnådd ovenfor kan skrives som¶y2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Her er domenet ω en firkantet region tangent til PAL,BG grensen,DL koblingstilstanden, tilstanden
f(xG , yG) den optimaliserte grensetilstanden, ogj(xL , yL )
Koblingen Laplace -ligningen blir endret til et sett med forskjellsligninger av den endelige forskjellsskjemaet.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) Herg = Äx = Äy er trinnet og sidelengden på kvadratet ω ermgmedm et heltall.
Lineære ekv. (15) løses ved den påfølgende dekk-relaksasjon (SOR) tilnærmingen [10]. SOR -teknikken bruker en repeterende serie med sveip over nettet for å konvergere på en løsning. Konvergenshastigheten avhenger av verdien av overavslappingsfaktoren (ORF), og en foretrukket verdi av ORF bestemmes eksperimentelt. En viktig fordel med SOR -teknikken er at den når konvergens i en tid proporsjonal med kvadratroten av antall nettingspunkter. Denne funksjonen innebærer at til beskjeden kostnad i beregningstidspunktet, kan en tilstrekkelig nettingstetthet implementeres for at SOR skal konvergere til løsningen.
3. Eksempler og diskusjon
Vi bruker den foreslåtte metoden på to eksempler for å demonstrere hvordan en spesifikk fordeling av fokalkraften og astigmatismen til en PAL oppnås ved de tilsvarende grense- og koblingsforholdene. I det første eksemplet bruker brukeren PAL for utendørs aktiviteter. Derfor er det nødvendig med et bredt avstandsområde. I følge resepten har PAL en -2. 00 diopter brennkraft i avstandsområdet og en + 2. 00 diopter tilleggskraft. Refraksjonsindeksen av linsematerialet er 1.523. Frontoverflaten til PAL er en sfærisk overflate med + 2. 00 diopter brennkraft. Bakoverflaten er en progressiv tilsetningsflate med -4. 00 diopter brennkraft i avstandsområdet og -2. 00 Diopter brennkraft i nærområdet. Verdiene tilh ogL er henholdsvis 34 og 17.
For å sammenligne ytelsen til den foreslåtte metoden med de tidligere analysemetodene, beregnes en progressiv overflate ved Winthrop -metoden. Løsningen av Laplace -ligning er et analytisk uttrykk med parametereh , L , x ogy . Nivåkurvene er
vist på fig. 2.
Fig. 2. Nivåkurvene oppnådd ved analytisk å løse Laplace -ligningen.
Vektorhøydenz(x, y) oppnås ved en serie ligninger. Basert på elementæren
Differensialgeometri, fokalkraften og astigmatismen til den progressive overflaten beregnes. Konturene av dem er vist på fig. 3.. Lengden på progressiv korridor er omtrent 16 mm. Bredden på klart synsområde (astigmatisme<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm er omtrent 26 mm som ikke er bred nok for utendørs syn.
Fig. 3. Fokalkraften (A) og astigmatismen (B) på den progressive overflaten ved Winthrop -metoden.
For å få et større avstandsområde, vektingsfaktorenai av objektivfunksjonen for å bestemme grensebetingelsene for Laplace -ligningen er valgt som vist i tabell 1. Grensebetingelsene oppnådd med den genetiske algoritmen er vist i fig. 4 og fig. 5.
Fig. 4. Grensebetingelser for venstre og høyre side.
Fig. 5. Grensebetingelser for avstanden og nær soner.
Ved å løse Laplace -ligningen numerisk med grense- og koblingsforholdene, optimaliseresu(x, y) oppnås. Konturene av optimalisert
u(x, y) er vist på fig. 6.
Sammenlign med fig. 2, er området bredere der verdien avu(x, y) som er mindre enn -14.
Fig. 6. Konturlinjer med optimalisertu(x, y) i det første eksemplet.
En gangu(x, y) er oppnådd,z(x, y) kan avledes ved hjelp av de ovennevnte designtrinnene. Konturene av fokalkraften og astigmatismen er vist på fig. 7. Den optiske ytelsen til den progressive overflaten er gitt i tabell 3. Man kan se at avstandsområdet (brennkraft<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm er omtrent 46 mm som er mer egnet for utendørs syn.
Fig. 7. Fokalkraften (A) og astigmatismen (B) på den progressive overflaten i det første eksemplet.
PAL -en for det første eksemplet er produsert med en CNC -gravering og en poleringsmaskin. De optiske egenskapene måles med en roteksfri formverifisering (FFV) for å gi fokal kraft og astigmatisme (eller kalt sylinder) av PAL. Konturene av den testede fokalkraften og astigmatismen er vist på fig. 8. Den optiske ytelsen til PAL er vist i tabell 3. den er mindre enn 0. 0 2 diopter at forskjellen på tilsetningskraften mellom den progressive overflaten og den produserte PAL. Avviket fra den maksimale astigmatismen er mindre enn 0,02 diopter. På grunn av påvirkningen av krumningen på frontoverflaten, reduseres bredden 12 mm og 2 mm i avstandssonen (astigmatisme<0.5 diopter, x = -10 mm) og nær sone (astigmatisme<0.5 diopter, x = 18 mm) av den produserte PAL enn den av den progressive overflaten.
Fig. 8. Fokalkraften (A) og astigmatismen (B) av PAL -en testet av FFV.
I det andre eksemplet er de grunnleggende parametrene de samme som for det første. Pals brukes på kontoret. Derfor er det nødvendig med et større nær område og bredere korridor. Breddend er satt til å være 9 mm i stedet for 6 mm som i det første eksemplet. Vektingsfaktorene basert på behovet for nær syn er vist i tabell 2. Grensebetingelsene oppnådd med den genetiske algoritmen er vist i fig. 9 og fig. 10. Konturene av optimalisert optimalisertu(x, y) er vist på fig. 11.
Fig. 9. Grensebetingelser for venstre og høyre side.
Fig. 10. Grensebetingelser for avstanden og nær soner.
Fig. 11. Konturlinjer med optimalisertu(x, y) i det andre eksemplet.
Figur 12 viser konturene av fokalkraften og astigmatismen i det andre eksemplet. Tabell 3 er den optiske ytelsessammenligningen mellom det første eksemplet og det andre eksemplet. Bredden på avstandsarealet til det første eksemplet er 24 mm bredere enn det for det andre eksemplet påx = -10 mm. Bredden på nærområdet til det andre eksemplet er 8 mm bredere enn det for det første eksemplet påx = 18 mm. Den maksimale astigmatismen til det andre eksemplet er mindre enn det for det første eksemplet, og bredden på korridoren er bredere.
Fig. 12. Fokalkraften (A) og astigmatismen (B) på den progressive overflaten i det andre eksemplet.
Tabell 1 og tabell 2 er vektingsfaktorene basert på brukerens forskjellige behov. Parametrene tilr ogai av objektivfunksjonen bestemmes av behovene og preferansen til brukeren. Astigmatism vektingsfaktorena2 velges en større verdi for utendørs aktiviteter. Større verdier av vektingsfaktorenea3 , a4 , a5 oga6 er valgt for kontorbruk.
4.Konklusjon
I denne studien har vi utviklet en ny designtilnærming som har mer kontroll på hjelpefunksjonen og dermed møter mer individualisert synskorreksjon. For å oppnå målet løser vi Laplace -ligningen numerisk. Grense- og koblingsforholdene er satt til å tilfredsstille spesifikke krav. Som et resultat kan et spesifikt behov for dimensjoner og fokale krefter i avstanden og nær regioner oppfylles i PAL -design i større grad. Størrelsene og distribusjonene av Astigmatismområdene forbedres også med vår tilnærming. Eksemplene viser evnen til vår tilnærming.
Finansiering
National Natural Science Foundation of China (NSFC) (61378056); Natural Science Foundation of Higher Education Institutions of Jiangsu Province (Kina) (17KJA140001); PAPD -programmet til Jiangsu -provinsen; Jiangsu Key Disciplines of Thirteen Five-Year Plan (20168765); Suzhou Key Laboratory for lavdimensjonale optoelektroniske materialer og enheter (SYG201611); Suzhou Key Industry Technology Innovation Plan (SYG201646); USTS Innovation Center.
Anerkjennelser
Forfatterne er også takknemlige for professor Qian Lin fra Soochow University for verdifulle råd og til Dr. Cao Zongjian fra Augusta University i USA for redaksjonelle forslag.